यदि $\vec{p}$ और $\vec{q}$ असमान इकाई सदिश इस प्रकार हैं कि $(\vec{p} - \vec{q}) \cdot ((2\vec{q} + \vec{p}) \times (3\vec{p} - \vec{q})) = |\vec{p} + \vec{q}|$ है,तो $\vec{p}$ और $\vec{q}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

चतुष्फलक का आयतन ज्ञात कीजिए,जिसके शीर्ष सदिशों $-i + j + k$,$i - j + k$ और $i + j - k$ द्वारा दिए गए हैं,जहाँ चौथा शीर्ष मूल बिंदु है।

मान लीजिए $\overrightarrow{A} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\overrightarrow{B} = \hat{i}$,और $\overrightarrow{C} = C_1\hat{i} + C_2\hat{j} + C_3\hat{k}$ है। यदि $C_2 = -1$ और $C_3 = 1$ है,तो तीनों सदिशों को समतलीय बनाने के लिए:

मान लीजिए कि बिंदुओं $A, B, C$ और $D$ के स्थिति सदिश $5\hat{i}+5\hat{j}+2\lambda\hat{k}$,$\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$,$-2\hat{i}+\lambda\hat{j}+4\hat{k}$ और $-\hat{i}+5\hat{j}+6\hat{k}$ हैं। मान लीजिए समुच्चय $S = \{\lambda \in \mathbb{R} : \text{बिंदु } A, B, C \text{ और } D \text{ समतलीय हैं}\}$. तो $\sum_{\lambda \in S}(\lambda+2)^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि मूलबिंदु और बिंदु $(1, 2, 3)$,$(2, 3, 4)$ और $(x, y, z)$ समतलीय हैं,तो

यदि $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ तीन असमतलीय सदिश हैं और $\overrightarrow{p}, \overrightarrow{q}, \overrightarrow{r}$ को $\overrightarrow{p}=\frac{\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}}{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]}, \quad \overrightarrow{q}=\frac{\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}}{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]}$ और $\overrightarrow{r}=\frac{\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}}{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]}$ संबंधों द्वारा परिभाषित किया गया है,तो $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{p}+\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{q}+\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{r}$ का मान ज्ञात कीजिए।